Cantorin–Schröderin–Bernsteinin lause

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Joukko-opissa käytettävä Cantorin–Schröderin–Bernsteinin lause on nimetty Georg Cantorin, Felix Bernsteinin ja Ernst Schröderin mukaan. Lauseessa esitetään, että jos joukkojen ja välillä on olemassa injektiiviset funktiot ja , on olemassa bijektio . Tarkoitettaessa joukkojen mahtavuutta tämä tarkoittaa, että jos ja , on oltava . Tulos on usein hyödyllinen, jos joukkoja on tarpeen järjestää niiden mahtavuuden mukaan.

Olkoot ja injektioita sekä ja . Nyt ja ovat bijektioita, joten on olemassa käänteisfunktiot ja , jotka ovat bijektioita.

Määritellään :n jälkeläisten lukumäärä, kun :

  • ei jälkeläisiä, kun
  • 1 jälkeläinen, kun
  • 2 jälkeläistä, kun
  • 3 jälkeläistä, kun
  • jne.

Vastaavalla tavalla määritellään muuttujan jälkeläisten lukumäärä, kun .

Olkoot

Koska ja ovat bijektioita, niin , , jne. ovat bijektioita, joten yksikäsitteisesti joko , tai . Tällöin ja .

Olkoon

Osoitetaan vielä, että on bijektio.

Olkoon . Joko tai . Jos , niin :llä on vähintään kaksi jälkeläistä, joten siten, että . Jos , niin . Näin ollen on surjektio.

Olkoot ja . Väite: on injektio . Tehdään vastaoletus: . Koska on injektio ja on bijektio, niin ja , joten . Koska ja ovat bijektioita, niin, kuten edellä, :llä on pariton tai rajaton määrä ja :llä 0 tai parillinen määrä jälkeläisiä. Ollaan saatu ristiriita sen kanssa, että . Täytyy siis päteä . Näin ollen on injektio.

Siispä on bijektio.

Reaalilukujen joukon avoin väli ja suljettu väli ovat yhtä mahtavia joukkoja, koska on olemassa injektiot ja , kun ja . Eli .

Kirjallisuutta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.