Epäjatkuvuuskohta

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Epäjatkuvuuskohta liittyy käsitteenä matematiikassa funktion jatkuvuuteen. Epäjatkuvuuskohta on funktion määrittelyjoukon arvo (eli joukko-opissa alkio), jonka ympäristössä funktion arvot eivät toteuta jatkuvuusehtoa. Jatkuvuusehto riippuu matematiikan haarasta ja käsiteltävästä tilanteesta.

Yhden reaalimuuttujan tapaus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yhden muuttujan reaalifunktiolla on jatkuvuusehto

jossa kohdassa toispuoleiset raja-arvot vasemmalta puolelta ja oikealta puolelta tulee olla samat ja tämän lisäksi funktion arvon tulee olla raja-arvojen suuruinen. Jos toinen tai molemmat raja-arvot eivät ole olemassa tai ne ovat eri suuruiset, funktio on epäjatkuva kohdassa . Jos funktion arvo on eri suuri kuin raja-arvot, on funktio epäjatkuva.

Epäjatkuvuuskohtien luokittelua

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

On huomattava, että jatkuvuus ja epäjatkuvuus ovat funktion ominaisuuksia, joten funktio voi olla epäjatkuva vain pisteissä, joissa se on määritelty![1] Epäjatkuvuuskohdat voidaan luokitella seuraaviin kategorioihin tai niiden yhdistelmiin.

Hyppäysepäjatkuvuus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Hyppäysepäjatkuvuus pisteessä .

Piste, jossa funktion kuvaaja ''hyppää'' äkillisesti arvosta toiseen. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä .[1]

''Karkailu äärettömyyteen''

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Funktio ''karkaa äärettömyyteen'' pistettä lähestyttäessä.

Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä . Lähestyttäessä origoa vasemmalta funktion arvot pienenevät rajatta ja vastaavasti oikealta lähestyttäessä ne kasvavat rajatta.[1]

Heilahteluepäjatkuvuus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Funktio heilahtelee rajusti pisteen ympärillä.

Heilahteluepäjatkuvuuskohta on piste, jossa funktiota ei voi määritellä jatkuvaksi, sillä funktio saa millä tahansa välillä pisteen ympäristössä useita eri arvoja. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä riippumatta siitä, miten luku valitaan. Funktio saa kaikki arvot välillä , kun , riippumatta siitä, kuinka pienellä välillä origon ympärillä funktiota tarkasteltaisiin. Näin ollen, oli mitä tahansa, ei ole jatkuva origossa.[1]

Poistuva epäjatkuvuus

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Poistuva epäjatkuvuus pisteessä .

Funktio saadaan ''korjattua'' jatkuvaksi epäjatkuvuuskohdassa, kun sen arvoa kyseisessä pisteessä muutetaan. Esimerkiksi funktio ,

on epäjatkuva pisteessä , mutta ''korjaamalla'' siitä tulisi jatkuva.[1]

  1. a b c d e Kilpeläinen, Tero: Analyysi 1 (s. 38 − 39) 2000 / 2002. Jyväskylän yliopisto. Viitattu 21.3.2017.
  • Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  • Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)

Kirjallisuutta

[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.