Erakkopiste

Topologiassa erakkopisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden $X$ pistettä $x$, että jokin pisteen $x$ ympäristö $U$ ei sisällä muita pisteitä kuin $x$:n.

Formaalisti: $x$ on joukon $A$ erakkopiste, jos $x\in A$ ja on olemassa ympäristö $U$ siten, että $x\in U$ ja $U\cap A=\{x\}$.

Sanotaan, että joukko $A$, joka sisältyy avaruuteen $X$, on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste. Samaten avaruus $X$ on diskreetti, jos sen jokainen piste on erakkopiste.

Esimerkkejä

• Jos $A=\{1\}\cup [2,3]$, niin alkio $1$ on joukon $A$ erakkopiste.

• Joukolla $A=[0,1[$ ei ole erakkopisteitä $\mathbb {R}$:ssa, koska kaikilla $x\in A$ ja kaikilla $r>0$ pätee $(B(x,r)\cap A)\setminus \{x\}\neq \emptyset$. Edellä $B(x,r)$ on niin sanottu kuulaympäristö (ks. ympäristö).

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Limes, 2001. ISBN 951-745-192-X.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Limes, 1999. ISBN 951-745-185-7.